Решение уравнений 4-й степени методом Феррари - онлайн-калькулятор
Определение: уравнение четвертой степени - это алгебраическое уравнение вида:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
в котором a ≠ 0.
x - переменная, при определенных значениях которой, называемых корнями уравнения, оно становится тождеством.
Данный калькулятор рассчитывает корни уравнения 4-й степени (как действительные, так и комплексные), исходя из допущения, что коэффициенты a, b, c, d, e являются действительными числами.
Как пользоваться калькулятором?
Для нахождения корней уравнения введите коэффициенты a, b, c, d, e
в расположенную ниже форму. Эти коэффициенты могут быть как положительными, так и отрицательными,
а также числами, записанными в виде десятичной дроби c плавающей точкой (вида "8.273").
Далее, нажмите кнопку "Решить" - загрузится страница с пошаговым решением уравнения.
Метод Феррари - теоретическая часть
Для решения уравнений четвертой степени в основу работы калькулятора положен метод Феррари, который является универсальным для данного типа
уравнений и дает возможность находить любые их корни, относящиеся как к действительным, так и к комплексным числам. Метод заключается в следующем:
- приведение уравнения к виду, в котором отсутствует член третьей степени (у4 + pу2 + qу + r = 0);
- получение путем ряда подстановок кубической резольвенты - уравнения третьей степени и нахождение одного из его корней, являющегося действительным числом;
- решение приведенного 4-членного уравнения 4-й степени путем разложения на два квадратных уравнения, нахождение корней исходного уравнения.
1-й этап.
В уравнении \( a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_4 = 0 \) разделим все члены на старший коэффициент а0, чтобы
коэффициент старшего члена стал равен единице:
\( x^4 + {a_1 \over a_0}x^3 + {a_2 \over a_0}x^2 + {a_3 \over a_0}x + a_4 = 0 \)
Далее, пусть \( a = {a_1 \over a_0} \), \( b = {a_2 \over a_0} \), \( c = {a_2 \over a_0} \), \( d = {a_3 \over a_0} \).
Тогда исходное уравнение можно представить в виде:
\( x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)
Введем новую переменную y, по формуле: \( x = y - {a \over 4} \)
Заменим переменную в исходном уравнении:
\( x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = \)
\( = (y - {a \over 4})^4 + a(y - {a \over 4})^3 + b(y - {a \over 4})^2 + c(y - {a \over 4}) + d = \)
\( = \quad ... \quad = y^4 + y^2(b - {3a^2 \over 8}) + y({a^3 \over 8} - {ab \over 2} + c) - {3a^4 \over 256} +
{a^2b \over 16} - {ca \over 4} + d = 0 \)
Для дальнейшего упрощения сделаем еще ряд подстановок.
Пусть \( p = b - {3a^2 \over 8} \),
\( q = {a^3 \over 8} - {ab \over 2} + c \),
\( r = -{3a^4 \over 256} + {a^2b \over 16} - {ca \over 4} + d \),
тогда уравнение будет выглядеть так:
\( y^4 + py^2 + qy + r = 0 \), где p, q и r принадлежат к полю действительных чисел.
Во избежание путаницы, далее по тексту будем называть его "Y-уравнением".
Как видно, из многочлена в левой части Y-уравнения "исчез" член третьей степени, что нам и требовалось.
2-й этап.
Введем новую величину - s, которая является корнем уравнения:
\( r - s^2 - {q^2 \over 4(p - 2s)} = 0 \),
которое назовем "S-уравнением", и выполним следующий прием:
прибавим и вычтем из левой части Y-уравнения выражение \( 2sy^2 + s^2 \). В результате получим:
\( y^4 + py^2 + qy + r = \)
\( = y^4 + py^2 + qy + r + (2sy^2 + s^2) - (2sy^2 + s^2) = \)
\( = y^4 + 2sy^2 + s^2 + (p - 2s)y^2 + qy + r - s^2 = \)
\( = (y^2 +s)^2 + (p - 2s)(y^2 + 2 {qy \over 2(p - 2s)}) + r - s^2 = \)
\( = (y^2 +s)^2 + (p - 2s)(y^2 + 2 {qy \over 2(p - 2s)} + {q^2 \over 4(p - 2s)^2}) + r - s^2 - {q^2 \over 4(p - 2s)} = \)
\( = (y^2 +s)^2 + (p - 2s)(y + {q \over 2(p - 2s)})^2 + r - s^2 - {q^2 \over 4(p - 2s)} \)
Как мы помним, s - это корень S-уравнения, следовательно выражение
\( r - s^2 - {q^2 \over 4(p - 2s)} = 0 \), и Y-уравнение можно записать в виде:
\( (y^2 +s)^2 + (p - 2s)(y + {q \over 2(p - 2s)})^2 = 0 \)
Вернемся к S-уравнению и выполним несколько несложных преобразований:
\( r - s^2 - {q^2 \over 4(p - 2s)} = \)
\( = r(p - 2s) - s^2(p - 2s) - {q^2 \over 4} = \)
\( = 2s^3 - ps^2 - 2rs + rp - {q^2 \over 4} = \)
\( = s^3 - {p \over 2}s^2 - rs + {rp \over 2} - {q^2 \over 8} = 0 \)
Последнее уравнение - это кубическая резольвента к уравнению 4-й степени.
Таким образом, путем ряда подстановок мы свели Y-уравнение 4-й степени к кубическому уравнению, которое можно
решить, используя формулу Кардано. Медод Кардано подробно описан на этой странице,
там же имеется калькулятор кубических уравнений.
Известно, что кубическое уравнение имеет 3 корня, которые в определенных случаях могут совпадать, и хотя бы один из которых обязательно является
действительным числом. Но в данном случае вычислять все 3 корня нет необходимости. Чтобы решить уравнение 4-й степени достаточно
найти один действительный корень его кубической резольвенты - одно из значений переменной, при котором S-уравнение становится тождеством.
3-й этап.
Если значение s найдено, можно приступить к дальнейшим преобразованиям
Y-уравнения с помощью формулы сокращенного умножения "разность квадратов", а именно:
\( (y^2 +s)^2 + (p - 2s)(y + {q \over 2(p - 2s)})^2 = \)
\( = (y^2 +s)^2 - (2s - p)(y - {q \over 2(2s - p)})^2 = \)
\( = (y^2 +s)^2 - (y \sqrt {2s - p} - {q \over 2 \sqrt {2s - p}})^2 = \)
\( = (y^2 - y \sqrt {2s - p} + {q \over 2 \sqrt {2s - p}} + s) (y^2 + y \sqrt {2s - p} - {q \over 2 \sqrt {2s - p}} + s) = 0 \)
Выражения, содержащиеся в каждой из круглых скобок в левой части этого уравнения - ни что иное как
квадратные многочлены относительно переменной y (поскольку s, p и q - уже известные нам числа).
Следовательно, для решения Y-уравнения необходимо решить два квадратных уравнения:
\( y^2 - y \sqrt {2s - p} + {q \over 2 \sqrt {2s - p}} + s = 0 \) (далее - уравнение "Y1Y2"),
\( y^2 + y \sqrt {2s - p} - {q \over 2 \sqrt {2s - p}} + s = 0 \) (далее - уравнение "Y3Y4").
Найдя корни этих уравнений \( y_1, y_2, y_3, y_4 \), мы найдем и корни исходного уравнения.
Решение квадратных уравнений не представляет сложности, но на всякий случай напомним:
Квадратное уравнение вида \( kz^2 + nz + m = 0 \), где \(k \neq 0 \), при этом коэффициенты k, n, m могут быть любыми числами, в т.ч. комплексными,
решается методом вычисления дискриминанта D:
\( D = n^2 - 4km \)
Квадратное уравнение имеет два корня z1 и z2, определяемые по формуле:
\( z_1 = {-n + \sqrt {D} \over 2k} \), \( z_2 = {-n - \sqrt {D} \over 2k} \)
Решим уравнение Y1Y2:
\( D_{Y1Y2} = (\sqrt {2s - p})^2 - 4({q \over 2 \sqrt {2s - p}} + s) = \)
\( = 2s - p - {4q \over 2 \sqrt {2s - p}} - 4s = \)
\( = -2s - p - {2q \over \sqrt {2s - p}} \)
\( y_1 = {- \sqrt {2s - p} \; + \; \sqrt {-2s - p - {2q \over \sqrt {2s - p}}} \over 2} \)
\( y_2 = {- \sqrt {2s - p} \; - \; \sqrt {-2s - p - {2q \over \sqrt {2s - p}}} \over 2} \)
Решим уравнение Y3Y4:
\( D_{Y3Y4} = (\sqrt {2s - p})^2 - 4({-q \over 2 \sqrt {2s - p}} + s) = \)
\( = 2s - p + {4q \over 2 \sqrt {2s - p}} - 4s = \)
\( = -2s - p + {2q \over \sqrt {2s - p}} \)
\( y_3 = {- \sqrt {2s - p} \; + \; \sqrt {-2s - p + {2q \over \sqrt {2s - p}}} \over 2} \)
\( y_4 = {- \sqrt {2s - p} \; - \; \sqrt {-2s - p + {2q \over \sqrt {2s - p}}} \over 2} \)
Наконец, вычислим корни исходного уравнения 4-й степени:
\( x_1 = y_1 - {a \over 4} \),
\( x_2 = y_2 - {a \over 4} \),
\( x_3 = y_3 - {a \over 4} \),
\( x_4 = y_4 - {a \over 4} \)
На этом решение уравнения 4-й степени методом Феррари завершено! Метод сложный, требует большого количества промежуточных вычислений,
однако он не выходит за рамки элементарной алгебры. Важно, что этот метод может применяться для решения любых уравнений данного вида, с любыми коэффициентами,
а не только в каких-то частных случаях.
Возможно, Вас интересует, нельзя ли создать аналогичный калькулятор для решения уравнений степени выше четвертой?
Это открытый вопрос. С одной стороны, есть известная теорема Абеля - Руффини, согласно которой не существует решения в радикалах общих полиномиальных уравнений пятой степени или выше с произвольными коэффициентами.
В переводе на "общедоступный" язык это означает, что для уравнения
\( x^n + a_1x^{n-1} \; + \; ... + \; a_{n-1}x + a_n = 0 \) при \( n \ge 5 \)
нет универсального способа решения, подобного методу Кардано для кубических уравнений или Феррари, описанному на этой странице.
Впрочем, в интернете имеются ссылки на научную работу российского математика Сергея Юрьевича Зайкова, издавшего в 2018 году
книгу "Как решаются в радикалах алгебраические уравнения пятой степени", из которой следует, что такой метод существует, и
приведена не только теория, но и пример решения одного из данных уравнений... Вероятно точку в этой дискуссии должны поставить профессиональные математики.
У нас более скромные задачи. Не пытаясь "объять необъятное", мы ограничились разработкой калькулятора для уравнений 4-й степени, результат
которой представлен здесь.
С другими калькуляторами, представленными на нашем сайте, Вы можете ознакомиться в этом разделе.
|
