Решение кубических уравнений методом Кардано - онлайн-калькулятор

Определение: кубическое уравнение (оно же - уравнение третьей степени) - это алгебраическое уравнение вида:

ax³ + bx² + cx + d = 0, в котором a ≠ 0.

x - переменная, при определенных значениях которой уравнение становится тождеством. Эти значения переменной x называются корнями кубического уравнения.

Данный калькулятор рассчитвает корни кубического уравнения, исходя из допущения, что коэффициенты a, b, c, d являются действительными числами.

Как пользоваться калькулятором?

Для нахождения корней кубического уравнения введите коэффициенты a, b, c, d в расположенную ниже форму. Эти коэффициенты могут быть как положительными, так и отрицательными, а также числами, записанными в виде десятичной дроби (вида "7.135").

Далее, нажмите кнопку "Решить" - загрузится страница с пошаговым решением уравнения.

Теория, используемая в работе калькулятора

Для решения кубического уравнений использована формула Кардано, позволяющая находить как действительные, так и комплексные корни. Метод Кардано состоит из двух этапов:

• приведение кубического уравнения к виду, в котором отсутствует переменная во второй степени (ay³ + py + q = 0);
• решение 3-членного кубического уравнения путем его сведения к квадратному уравнению.

1-й этап.

В уравнении вида a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ = 0 разделим все члены на старший коэффициент а₀.

Пусть a = a₁/a₀, b = a₂/a₀, c = a₃/a₀. Тогда наше уравнение можно представить в виде:

x³ + ax² + bx + c = 0

Введем новую переменную y, по формуле: x = y - a/3

Делаем подстановку:

x³ + ax² + bx + c = (y - a/3)³ + a(y - a/3)² + b(y - a/3) + c =
= y³ + 3y²(a/3) + 3y(a²/9) - a³/27 + a(y² - 2y(a/3) + a²/9) + by - ab/3 + c =
= ...[пропустим промежуточные расчеты]... = y³ + (b - a²/3)y + c + 2a³/27 - ab/3

Теперь исходное уравнение сведено к виду:

y³ + (b - a²/3)y + c + 2a³/27 - ab/3 = 0

Упростим, добавив для этого новые коэффициенты p и q:

p = b - a²/3, q = c + 2a³/27 - ab/3

После совершенных подстановок исходное кубические уравнение выглядит так:

y³ + py + q = 0, где p и q принадлежат к полю действительных чисел.

Как видно, в уравнении теперь отсутствует член второй степени, что и требовалось выполнить на данном этапе. Далее по тексту будем называть его трехчленным кубическим уравнением (не путайте с исходным, у которого четыре члена).

2-й этап.

Снова введем новую переменную - z, по формуле: y = z - p/3z

Тогда y³ = (z - p/3z)³ = z³ - 3z²(p/3z) + 3z(p²/9z²) - p³/27z³ =
= z³ - pz + p²/3z - p³/27z³

Подставив полученное значение вместо переменной y, получим:

y³ + py + q = z³ - pz + p²/3z - p³/27z³ + p(z - p/3z) + q =
= z³ - pz + p²/3z - p³/27z³ + pz - p²/3z +q = z³ - p³/27z³ + q

И, следовательно z³ - p³/27z³ + q = 0

Умножим каждый член этого уравнения на z³:

z⁶ + qz³ - p³/27 = 0

Это уравнение является квадратным относительно z³ (поскольку его можно представить в виде (z³)² + qz³ - p³/27 = 0). Метод решения квадратных уравнений известен и достаточно прост. Приведем сразу формулы для вычисления корней этого квадратного уравнения z₁ и z₂:

\( z_{1,2}^3 = {-q \pm \sqrt{q^2 + {4 \over 27}p^3 } \over 2} = - {q \over 2} \pm \sqrt{{q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}} \), тогда:

\( z_1 = \sqrt[3] {- {q \over 2} + \sqrt{ {q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}} \)
\( z_2 = \sqrt[3] {- {q \over 2} - \sqrt{ {q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}} \)

Вспомнив о ранее выполненной подстановке y = z - p/3z, делаем вывод, что полученное на 1-м этапе трехчленное кубическое уравнение y³ + py + q = 0 также имеет 2 корня:

\( у_1 = z_1 - {p \over 3z_1}\)
\( у_2 = z_2 - {p \over 3z_2}\)

Опустим промежуточные подстановки и расчеты. Если их выполнить, станет понятно, что корни y₁ и y₂ одинаковы, и каждый из них равен сумме z₁ и z₂:

\( у_1 = у_2 = z_1 + z_2 \)

Следовательно, формула для решения уравнения y³ + py + q = 0:

\( y = \sqrt[3] {- {q \over 2} + \sqrt{ {q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}} + \sqrt[3] {- {q \over 2} - \sqrt{ {q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}} \) - это и есть формула Кардано.

Формула Кардано позволяет находить корни любых кубических уравнений, в том числе и в поле комплексных чисел.

Наш калькулятор позволяет вычилять как действительные, так и комплексные корни кубических уравнений.

Известно, что корень n-ой степени из комплексного числа имеет n комплексных значений. При вычислении переменной y мы имеем дело с кубическими корнями (корнями 3-й степени), следовательно, y имеет 3 значения (\( y_1, y_2, y_3\)), которые могут быть как комплексными, так и действительными числами.

Дискриминант кубического уравнения

Выражение из формулы Кардано \({q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}\) называют дискриминантом D кубического уравнения, его также можно представить в виде \( ({q \over 2})^2 + ({p \over 3})^3 \).

\( D = {q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} \)

Доказано, что виды корней кубического уравнения (действительные или комплексные) засисят от значения дискриминанта следующим образом:

Если D > 0, у трехчленного кубического уравнения один действительный корень (y₁) и два комплексно сопряженных (y₂, y₃).

\( y_1 = \sqrt[3] {- {q \over 2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3] {- {q \over 2} - \sqrt{D}} \)

\( y_2 = -{1 \over 2} (\sqrt[3] {- {q \over 2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3] {- {q \over 2} - \sqrt{D}}) + i{\sqrt[3] {3} \over 2} (\sqrt[3] {- {q \over 2} + \sqrt{D}} - \sqrt[3] {- {q \over 2} - \sqrt{D}}) \),

\( y_3 = -{1 \over 2} (\sqrt[3] {- {q \over 2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3] {- {q \over 2} - \sqrt{D}}) - i{\sqrt[3] {3} \over 2} (\sqrt[3] {- {q \over 2} + \sqrt{D}} - \sqrt[3] {- {q \over 2} - \sqrt{D}}) \),

где \( i \) - мнимая единица (теория комплексных чисел определяет ее как квадратный корень из минус единицы: \( i = \sqrt{-1} \)).

Теперь легко решить исходное уравнение \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\), в котором была произведена замена переменной: \(x = y - {a \over 3}\):

\( x_1 = y_1 - {a \over 3} \), \( x_2 = y_2 - {a \over 3} \), \( x_3 = y_3 - {a \over 3} \)

Если D = 0, а также p ≠ 0 и q ≠ 0, у трехчленного кубического уравнения три действительных корня, два из которых совпадают:

\( y_1 = 2\sqrt[3] {- {q \over 2}}\) и \( y_2 = -\sqrt[3] {- {q \over 2}}\)

Соответственно, \( x_1 = y_1 - {a \over 3} \) и \( x_2 = y_2 - {a \over 3} \)

Если же при D = 0 p и q также равны 0, все три корня y совпадают и тоже равны нулю: \( y_{1,2,3} = 0 \)

Тогда единственный корень \( x = {a \over 3} \)

Если D < 0, у трехчленного кубического уравнения три действительных несовпадающих корня.

Это наиболее сложный случай. Хотя корни и действительные, в промежуточных вычислениях используются комплексные числа и тригонометрические функции, поэтому сразу приводим итоговое решение:

\( y_1 = 2\sqrt {- {p \over 3}}\)·\(cos {\omega \over 3} \),

\( y_2 = 2\sqrt {- {p \over 3}}\)·\(cos {({\omega \over 3} + {2\pi \over 3})}\),

\( y_3= 2\sqrt {- {p \over 3}}\)·\(cos {({\omega \over 3} + {4\pi \over 3})}\),

где \( \omega = arctg {({\sqrt {-D} \over - {q \over 2}})} \), если \( q < 0 \),
\( \omega = arctg {({\sqrt {-D} \over - {q \over 2}})} + \pi \), если \( q > 0 \),
\( \omega = {\pi \over 2}\), если \( q = 0 \).

Решение исходного уравнения в этом случае:

\( x_1 = y_1 - {a \over 3} \), \( x_2 = y_2 - {a \over 3} \), \( x_3 = y_3 - {a \over 3} \)

С другими калькуляторами, представленными на нашем сайте, Вы можете ознакомиться в этом разделе.